Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam (α = 30, 45, 60, 90, 180 Derajat)

Rotasi atau yang lebih akrab dikenal dengan putaran pada suatu objek akan memindahkan objek tersebut dari satu titik ke titik lain. Letak perpindahan bergantung dari arah dan besar sudut, serta letak titik pusat rotasi. Simbol transformasi rotasi untuk arah rotasi yang berlawanan arah jarum jam ditandai dengan tanda positif (+) di depan besar sudut rotasi. Misalnya, suatu objek akan dirotasi berlawanan arah jarum jam dengan pusat P(a, b) dan besar sudut 45^o. Simbol rotasi untuk transformasi objek tersebut adalah R[P(a, b), +45^o]. Cara melakukan rotasi berlawanan arah jarum jam untuk berbagai sudut seperti α = 30^o, 45^o, 60^o, 90^o, dan lain sebagainya dapat diperoleh lebih mudah melalui suatu persamaan.

Rotasi pada transformasi geometri dapat dilakukan pada objek berupa titik, garis, bangun datar, dan lain sebagainya. Suatu objek yang mengamai rotasi berlawanan arah jarum jam akan berpindah posisinya dengan bentuk tetap. Arah rotasi berlawanan arah jarum jam menunjukkan bahwa rotasi yang dilakukan berkebalikan dengan putaran jarum jam. Contoh rotasi suatu objek dengan arah rotasi berlawanan arah jarum jam dapat dilihat seperti gambar berikut.

Bagaimana cara menentukan hasil rotasi berlawanan arah arah jarum jam untuk sebuah titik? Bagaimana cara menentukan hasil rotasi berlawanan arah arah jarum jam untuk segitiga atau bangun datar bentuk lainnya? Apa pengaruh besar sudut rotasi pada hasil rotasi suatu objek? Sobat idshool dapat mencari tahu lebih banyak melalui ulasan cara menentukan hasilrotasi α = 30, 45, 60, 90, 180 derajat berlawanan arah jarum jam di bawah.

Baca Juga: Vektor yang Saling Tegak Lurus dan Sejajar

Rotasi α^o Berlawanan Arah Jarum Jam pada Pusat O(0, 0): R[O, +α^o]

Hasil transformasi sebuah titik dengan arah rotasi berlawanan arah jarum jam dipengaruhi oleh besar sudut dan letak titik pusat rotasi. Posisi letak titik hasil rotasi pada pusat O(0, 0) akan berbeda dengan rotasi pada pusat P(a, b). Demikian pula untuk besar sudut rotasi, posisi letak titik hasil rotasi dengan besar sudut 30^o akan berbeda dengan besar sudut rotasi 60^o, begitu juga dengan besar sudut lainnya. Untuk mendapatkan hasil rotasi suatu titik atau objek dapat dinyatakan dalam persamaan yang melibatkan fungsi trigonometri.

Secara umum, hasil rotasi dengan pusat O(0, 0) dengan besar sudut α^o yang searah jarum jam (+α^o) dapat diperoleh melalui matriks transformasi berikut.

Sebagai contoh, rotasi titik A(x, y) pada pusat O(0, 0) dengan besar sudut 90^o berlawanan arah jarum jam (+90^o) akan menghasilkan titik A’(x’, y’). Di mana, letak  atau nilai (x’, y’) memenuhi persamaan berikut.

Sehingga, hasil transformasi titik A(x, y) dengan besar sudut 90^o berlawanan arah jarum jam adalah titik A’(–y, x). Contoh: rotasi titik K(3, 5) dengan besar sudut 90^o yang berlawana arah jarum jam adalah titik K’(–5, 3).

Selanjutya, dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan umum untuk mendapatkan hasil rotasi pada pusat O(0, 0) dengan besar sudut rotasi α = 30^o, 45^o, 60^o, 180^o, 270^o dan besar sudut lainnya. Secara ringkas, persamaan umum hasil rotasi titik pada pusat O(0, 0) dengan besar sudut rotasi α = 30^o, 45^o, 60^o, 90, 180^o, dan 270^o diberikan seperti tabel berikut.

Baca Juga: Komposisi Transformasi Geometri dengan Matriks

Rotasi α^o Berlawanan Arah Jarum Jam pada Pusat P(a, b): R[P(a, b), +α^o]

Secara umum, hasil rotasi dengan pusat P(a, b) dengan besar sudut α^o yang berlawanan arah jarum jam dapat diperoleh melalui matriks transformasi berikut.

Sebagai contoh, rotasi titik A(x, y) pada pusat P(a, b) dengan besar sudut 90^o berlawanan arah jarum jam (–90^o) akan menghasilkan titik A’(x’, y’) dengan (x’, y’) memenuhi persamaan berikut.

Jadi, hasil transformasi titik A(x, y) dengan besar sudut 90^o berlawanan arah jarum jam adalah titik A’(–y + a + b, x – a + b). Contoh: rotasi titik K(3, 5) pada pusat P(1,−2) dengan besar sudut 90^o berlawanan arah jarum jam adalah titik K’(–5 + 1 +(−2), 3 − 1 + (−2)) = K’(−6, 0).

Selanjutya, dengan cara yang sama dapat diperoleh persamaan umum untuk mendapatkan hasil rotasi pada pusat P(a, b) dengan besar sudut rotasi α = 30^o, 45^o, 60^o, 180^o, 270^o dan besar sudut lainnya. Secara ringkas, persamaan umum hasil rotasi titik pada pusat P(a, b) dengan besar sudut rotasi α = 30^o, 45^o, 60^o, 90, 180^o, dan 270^o diberikan seperti tabel berikut.

Baca Juga: Transformasi Geometri (Translasi, Refleksi, Rotasi, dan Dilatasi)

Contoh Soal Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam dan Pembahasannya

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman terkait bahasan di atas. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

Pembahasan:

Matriks transformasi untuk rotasi 60^o berlawanan arah jarum jam:

Matriks transformasi untuk rotasi 30^o berlawanan arah jarum jam:

Komposisi matriks transformasi rotasi 60^o berlawanan arah jarum jam kemudian dilanjutkan dengan rotasi 30^o dengan arah yang sama memenuhi persamaan T = T₂ º T₁.

Jawaban: A

Baca Juga: Matriks Transformasi untuk Rotasi Searah Jarum Jam Sejauh α°

Contoh 2 – Soal Rotasi Berlawanan Arah Jarum Jam

Titik B (6, 4) dirotasikan 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (a, b) sehingga diperoleh titik B'(2, –8). Hasil b – 2a adalah ….
A. –2
B. 0
C. 2
D. 4
E. 6

Pembahasan:

Rotasi titik B(6, 4) dengan besar sudut 270° berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat (a, b) memenuhi persamaan berikut.

Diperoleh persamaan x’ = 4 – b + a dan y’ = –6 + a + b. Diketahui bahwa bayangan titik yang dihasilkan adalah titik B'(2, –8), sehingga dapat diperoleh dua persamaan berikut.

• 2 = 4 – b + a
  a – b = 2 – 4
  a – b = –2 → a = b – 2

• –8 = –6 + a + b
  a + b = –8 + 6
  a + b = –2

Substitusi persamaan a = b – 2 ke persamaan a + b = –2 untuk mendapatkan nilai b:

a + b = –2
b – 2 + b = –2
2b = –2 + 2
2b = 0
b = ⁰/₂ = 0

Menghitung nilai a: a = b – 2 = 0 – 2 = –2

Menghitung nilai b – 2a:
b – 2a = 0 – 2(–2)
= 0 + 4
= 4

Jawaban: D

Demikianlah tadi ulasan rotasi α = 30, 45, 60, 90, 180 derajat berlawanan arah jarum jam. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga berlanfaat!

Baca Juga: Barisan Aritmatika dan Geometri

Sumber gini.com