Vektor merupakan objek geometri yang dan memiliki nilai dan arah dengan simbol berupa gambar anak panah (→). Pangkal anak panah adalah titik awal vektor, sedangkan ujung anak panah merupakan titik akhir vektor. Panjang sebuah vektor sama dengan jarak pangkal ke ujung anak panah. Misalkan sebuah vektor a terletak dari titik A ke titik B. Panjang vektor a atau vektor AB merupakan jarak dari titik A ke titik B. Cara menghitung vektor AB dapat dilakukan dengan rumus Pythagoras untuk vektor dengan letak titik koordinat ujung dan pangkal vektor.
Bagaimana cara menghitung panjang vektor AB? Sobat idschool dapat mencari tahu lebih banyak melalui pembahasan di bawah.
Rumus Panjang Vektor AB
Penyajian vektor dapat diberikan dalam bentuk matriks satu kolom, pasangan bilangan berurutan, atau kombinasi vektor satuan. Vektor u di R2 dengan titik awal di O(0,0) dan titik akhir (a, b) dapat dituliskan sebagai vektor u = (a, b). Untuk vektor v di R3 dengan titik awal di O(0, 0, 0) dan titik akhir (p, q, r) dituliskan sebagai vektor v = (p, q, r).
Panjang vektor disimbolkan dengan huruf kecil yang diapit tanda lurus (seperti nilai mutlak). Besar nilai panjang vektor merupakan jarak dari ujung vektor ke pangkal vektor. Untuk panjang vektor posisi u dan v dapat diperoleh melalui perhitungan akar dari bilangan-bilangan penyusun letak vektor.
Jika diketahui letak titik koordinat ujung vektor dan pangkan vektor, panjang vektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus Pythagoras. Sebagai contoh, pangkal suatu vektor AB terletak pada A(x1, y1) dan ujung vektor terletak pada B(x2, y2). Perpotongan garis proyeksi dari kedua titik dan vektor AB akan membentuk segitiga siku – siku.
Sehingga, persamaan yang dapat digunakan untuk menghitung panjang vektor AB adalah |AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2.
Contoh cara menghitung panjang vektor AB:
Soal 1: Tentukan panjang vektor a = (2, 4)!
Jadi, panjang vektor a = (5, 2)!
Soal 2: Panjang sisi AB dari segitiga ABC dengan titik-titik yang terletak pada A(0, 0); B(2,1); dan C(3, 2) adalah .…
Jadi, panjang sisi AB sama dengan panjang vektor c yaitu √5 satuan panjang.
Baca Juga: Perbandingan Vektor
Contoh Soal dan Pembahasan
Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk mengukur pemahama materi di atas. Keberhasilan mengerjakan soal salah satu tanda bahwa sobat idschool sudah memahami bahasan materi. Setiap contoh soal yang diberikan di bawah dilengkapi dengan pembahasan. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat Berlatih!
Contoh 1 – Soal Panjang Vektor
Diketahui letak titik A(3, –1, 2) dan letak titik B (5, 4, 1). Besar panjang vektor AB adalah ….
A. 30
B. √30
C. 10√3
D. 3√10
E. 3
Pembahasan:
Komposisi bilangan untuk vektor AB:
Menghitung besar panjang vektoR AB:
Jadi, panjang vektor AB adalah √30 satuan panjang.
Jawaban: B
Contoh 2 – Soal Panjang Vektor
Diketahui vektor-vektor a, b, dan c dengan vektor b = (−2,1), vektor b ⊥ vektor c, vektor a − b + c = 0. Jika luas segitiga yang dibentuk ujung-ujung vektor a, vektor b, dan, vektor c adalah √5, maka panjang vektor a adalah ….
A. √2
B. 2
C. √3
D. √6
E. 3
Pembahasan:
Berdasarkan keterangan yang diberikan pada soal dapat diperoleh informasi-informasi seperti berikut.
- vektor b = (−2,1) → |b| = √(–22 + 12) = √5
- vektor b ⊥ vektor c → b · c = 0
- vektor a − b + c = 0 → a = b − c
- Luas segitiga ABC = √5
Gambar yang sesuai dengan kondisi pada soal diberikan seperti berikut.
Menghitung panjang OC (c):
L∆ABC = 1/2 × L∆OABC
L∆ABC = 1/2 × OC × OB
√5 = 1/2 × OC × √5
1 = 1/2 × OC
OC = 1 : 1/2
OC = 1 × 2/1 = 2
Menghitung panjang vektor a:
|a|2 = |b – c|2
|a|2 = |b|2 + |c|2 – 2·|b|·|c| · cos 90o
|a|2 = √52 + 22 – 2·√5·2 · 0
|a|2 = √52 + 22 – 0
|a|2 = 5 + 4
|a|2 = 9
|a| = 3
Jadi, panjang vektor a adalah |a| = 3.
Jawaban: E
Demikianlah ulasan cara menghitung panjang vektor AB yaitu panjang vektor dengan koordinat yang diketahui. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!
Baca Juga: Metode Penjumlahan Vektor
Sumber gini.com
EmoticonEmoticon