Vektor yang Saling Tegak Lurus dan Sejajar

Vektor merupakan objek geometri yang digambarkan dengan simbol anak panah. Besaran vektor memiliki nilai dan arah, sehingga vektor dengan nilai yang sama dan arah yang berbeda merupakan vektor yang berbeda. Atau dapat dikatakan bahwa vektor a tidak sama dengan vektor –a, tanda negatif menunjukkan bahwa vektor memiliki arah yang berbeda. Posisi dua buah vektor dapat membentuk sebuah sudut yang besarnya ditentukan oleh bilangan penentu arah dan panjang vektor. Berdasarkan sudut yang dibentuk, posisi kedua vektor dapat saling tegak lurus atau saling sejajar. Vektor yang saling tegak lurus akan membentuk sudut 90^o, sedangkan vektor yang saling sejajar akan membentuk sudut 0^o atau akan dapat berhimpitan pada satu garis (kolinear). 

Diketahui dua buah vektor a dan b, persamaan yang menyatakan hubungan perkalian skalar dan sudut antara vektor a dan b adalah a · b = |a||b| · cos θ. Di mana θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua vektor dan |a| adalah panjang vektor a. Jika a dan b merupakan dua vektor yang arahnya sama dan saling sejajar maka a · b = |a||b| · cos 0^o atau a · b = |a||b|. Jika a dan b merupakan dua vektor yang saling tegak lurus maka a · b = |a||b| · cos 90^o atau a · b = 0.

Kedua persamaan untuk vektor yang saling tegak lurus dan sejajar merupakan sifat-sifar hasil kali skalar vektor. Bagaimana penerapan sifat vektor yang saling tergak lurus dan sejajar? Bagaimana cara melaukan operasi hasil kali skalar vektor? Sobat idschool dapat mencari tahu jawabannya melaluiulasan di bawah.

Baca Juga:  4 Metode Penjumlahan Vektor

Perkalian Vektor

Penggunaan sifat-sifat hasil skalar vektor untuk menyelesaikan soal pada vektor yang saling tegak lurus dan sejajar membutuhkan pengatahuan cara melakukan perkalian skalar vektor. Dalam bahasan visika, perkalian vektor digunakan untuk mengetahui besar nilai dan arah dari hasil perkalian vektor tersebut atau digunakan untuk melakukan penurunan persamaan. Ada dua jenis perkalian vektor berdasarkan product atau hasli akhirnya yaitu cross product (perkalian cross) dan dot product atau perkalian dot.

Cross Product (Perkalian silang: a × b )

Cross Product atau vector product (produk vektor) merupakan perkalian vektor dengan vektor yang menghasilkan vektor. Dengan kata lain, hasil akhir dari perkalian silang menghasilkan besaran yang memiliki nilai dan arah (vektor). Simbol untuk perkalian dari cross product adalah tanda silang atau cross (×) diantara dua vektor yang dikalikan. Misalkan, perkalian cross antara vektor a dan vektor b menghasilkan sebuah vektor c (a × b = c). Vektor c yang dihasilkan dari perkalian cross merupakan vektor yang tegak lurus terhadap vektor a dan vektor b.

Sebagai contoh, diketahui dua buah yaitu vektor a = 2i – 3j + k dan b = i + 4j – 2k. Cara mengalikan vektor a × b sama seperti pada operasi hitung matriks untuk mencari nilai determinan suatu matriks. Langkah-langkah pengerjaan perkalian vektor dapat dilihat seperti berikut.

Dot Product (Perkalian titik: a • b )

Dot product atau produk skalar/scalar product adalah perkalian antar vektor yang menghasilkan besaran skalar. Dengan kata lain, hasil akhir dari perkalian silang adalah nilai tanpa arah. Cara mengalikan vektor untuk dot product berbeda dengan cross product. Proses perkalian vektor dengan vektor pada dot product dilakukan dengan cara mengalikan bilangan dengan variabel yang sama.

Sebagai contoh, diketahui dua buah yaitu vektor a = 2i – 3j + k dan b = i + 4j – 2k. Cara mengalikan a • b dan hasilnya diberikan seperti contoh pengerjaan berikut.

a = 2i – 3j + k
b = i + 4j – 2k
a • b = (2 · 1)i + (–3 · 4)j + (1 · –2)k
a • b = 2i – 12j –2k

Perkalian dot seperti di atas akan membantu pengerjaan soal vektor yang saling sejajar dan tegak lurus. Selanjutnya, sobat idschool dapat melihat bagaiaman penggunaan bahasan materi di atas untuk menyelesaikan soal.

Baca Juga: Perbandingan Dalam Vektor dan Perbandingan Luar Vektor

Contoh Soal dan Pembahasan

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk mengasah kemampuan untuk materi bahasan di atas. Setiap contoh soal dilengkapi dengan pembahasan soal, sobat idschool dapat menggunakannya sebagai tolak ukur keberhasilang mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Vektor Saling Tegak Lurus

Diketahui dua vektor a = (2, –5, 1) dan b =(x, –2, 4) saling tegak lurus. Nilai x dari vektor b adalah ….
A. –14
B. –7
C. 0
D. 7
E. 14

Pembahasan:

Vektor yang saling tegak lurus memenuhi persamaan: a · b = 0, sehingga nilai x pada vektor b dapat dicari dengan cara berikut.

Jadi, nilai x dari vektor b adalah –7.

Jawaban: B

Contoh 2 – Soal Vektor Saling Tegak Lurus

Diketahui vektor a = i + 2j – xk, b = 3i – 2j + k, dan c = 2i + j + 2k. Jika vektor a tegak lurus vektor c, hasil kali vektor (a + b)(a – c) adalah ….
A. –4
B. –2
C. 0
D. 2
E. 4

Pembahasan:

Diketahui bahwa vektor a ^ vektor c sehingga memenuhi persamaan a · c = 0. Besar dan arah vektor a = i + 2j – xk = (1, 2, – x) dan vektor c = 2i + j + 2k = (2, 1, 2) sehingga dapat diperoleh nilai x seperti berikut.

Diperoleh nilai x = 2, maka vektor a = i + 2j – 2k

Mencari hasil kali vektor (a + b)(a – c):

(a + b)·(a – c) = (1+3, 2+(–2), –2+1) · (1 – 2, 2 – 1, – 2 – 2)

= (4, 0, –1) · (–1, 1, –4)
= 4(–1) + 0(1) + (–1)(–4)
= –4 + 0 + 4
= 0

Jadi, hasil kali vektor (a + b)(a – c) adalah 0.

Jawaban: C

Baca Juga: Cara Menghitung Panjang Vektor AB

Contoh 3 – Soal Vektor Saling Tegak Lurus

Pembahasan:

Diketahui besar dan arah vektor-vektor a, b, dan c, seperti berikut.

• a = 3i – 2j + 4k = (3, –2, 4)
• b = 4i + 3j + 5k = (4, 3, 5)
• c = 2i + xj – 4k = (2, x, –4)

Diketahui bahwa vektor a tegak lurus vektor c sehingga memenuhi persamaan a · c = 0. Bilangan x pada vektor c dapat diperoleh seperti cara berikut.

a · c = 0
(3, –2, 4) · (2, x, –4) = 0
3 · 2 + (–2) · x + 4 · –4 = 0
6 –2x – 16 = 0
–2x = 16 – 6
–2x = 10
x = ¹⁰/_–2 = –5

Berdasarkan perhitungan di atas dapat diperoleh bilangan x pada vektor c adalah x = –5. Sehingga, besar dan arah vektor c = (2, –5, –4), selanjutnya adalah menentukan hasil dari 2a + b – c.

2a + b – c = 2(3, –2, 4) + (4, 3, 5) – (2, –5, –4)
= (6, –4, 8) + (4, 3, 5) – (2, –5, –4)
= (6 + 4 – 2, –4 + 3 – (–5), 8 + 5 – (–4))
= (6 + 4 – 2, –4 + 3 +5, 8 + 5 + 4)
= (8, 4, 17)
= 8i + 4j + 17k

Jadi, hasil dari 2a + b – c adalah 8i + 4j + 9k.  

Jawaban: E

Contoh 4 – Soal Vektor Saling Sejajar

Diketahui titik-titik A(3, 2, –1), B(1, –2, 1), dan C(7, p – 1, –5) segaris untuk nilai p = ….
A. 13
B. 11
C. 5
D. –11
E. –13

Pembahasan:

Titik A, B, dan C terletak segaris sehingga memenuhi persamaan AB = k AC dengan k merupakan suatua konstanta skalar.

Menentukan nilai k:
–2 = k · 4
k =^–2/₄
k =–¹/₂

Menghitung nilai p:
–4 = k(p – 3)
–4 = –¹/₂(p – 3)
–4 × –²/₁= p – 3
8 = p – 3
p = 8 + 3
p = 11

Jadi, itik-titik A(3, 2, –1), B(1, –2, 1), dan C(7, p – 1, –5) segaris untuk nilai p = 11.

Jawaban: B

Demikianlah tadi ulasan materi vektor yang saling tegak lurus dan sejajar. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Cara Menghitung Resultan Vektor 3 Arah Secara Analitis

Sumber gini.com