Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonometri

Fungsi dasar trigonometri terdiri dari fungsi sinus, cosinus, dan tangen. Selain ketiga fungsi dasar tersebut terdapat juga fungsi cosec (¹/_sin), sec (¹/_cos), cotan (¹/_tan), dan bentuk kombinasi fugsi dasar trigonometri lainnya. Bentuk grafik fungsi trignomteri berupa fungsi periodik yang nilainya berulang mebentuk suatu pola. Grafik fungsi trigonometri mempunyai amplitudo yang besar nilainya sama dengan harga mutlak nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri. Dalam grafik fungsi trigonometri juga terdapat periode yang memuat satu gelombang untuk setiap periode.

Besar nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri untuk fungsi dasar y = sin x dan y = cos x berturut-turut adalah –1 dan 1. Nilai minimum y = sin x salah satunya terjadi saat nilai x = ³/₂π dan nilai minimum y = cos x dicapai saat (salah satunya) x = π. Sedangkan nilai maksimum y = sin x dicapai saat (salah satunya) x = ¹/₂π dan nilai maksimum y = cos x dicapai saat (salah satunya) x = 0. Hasil tersebut dapat secara mudah diperoleh dengan melihat grafik fungsi y = sin x dan y = cos x.

Bentuk fungsi trignometri dapat berupa fungsi yang lebih rumit, misalnya y = sin 3x + cos 3x, y = 2 cos 2x – 4 sin x, atau bentuk yang lebih rumit lainnya. Fungsi trigonometri yang lebih rumit membutuhkan cara lain untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya. Bagaimana cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan berbagai bentuk? Sobat idschool dapat mencari cara mendapatkannya melalui ulasan di bawah.

Baca Juga: Cara Menggambar Grafik Fungsi y = sin x, y = 2 sin x, dan y = sin 2x

3 Cara Menentukan Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonomteri

Beberapa soal nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri memiliki bentuk yang sederhana. Sehingga cukup mudah untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya. Namun tidak jarang bahwa bentuk soal yang diberikan cukup rumit dengan memuat kombinasi fungsi trigonometri. Untuk menentukan nilai minimum dan maksimum dari kombinasi fungsi trigonometri yang rumit, sobat idschool tentu membutuhkan cara lain.

Setidaknya ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri. Ketiga cara tersebut diulas pada masing-masing bahasan di bawah.

1. Fungsi Trigonometri y = A sin x + C atau y = A cos x + C

Bentuk fungsi yang pertama ini dapat dikatakan cukup sederhana. Sehingga cara untuk menentukan nilai minimum dan maksimumnya juga cukup mudah dilakukan.

Nilai maksimum dan minimum fungsi trigonometri untuk fungsi sinus dan cosinus dapat ditentukan melalui amplitudo (A) dan konstanta (k). Amplitudo adalah simpangan terjauh sedangkan konstanta merupakan faktor bergesernya kurva secara vertikal. Fungsi dasar y = sin x dan y = cos x memiliki nilai minimum = –1 dan nilai maksimum = 1. Dua keterangan ini akan sangat membantu dalam menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri yang serupa, misalnya y = k sin x + C atau y = k cos x + C.

Persamaan umum untuk menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan bentuk tersebut diberikan seperti berikut.

Bentuk fungsi trigonometri ini cukup mudah untuk ditentukan nilai minimum dan maksimumnya. Perhatikan cara menentukan nilai minimum dan maksimum pada fungsi-fungsi trigonometri berikut.

f(x) = –sin x

• nilai maksimum = |–1| = 1
• nilai minimum = – |–1| = –1

g(x) = 3 cos (x – 15°)

• nilai maksimum = | 3 | = 3
• nilai minimum = – | 3 | = –3

p(x) = –4 cos x + 1

• nilai maksimum = |– 4| + 1 = 4 + 1 = 5
• nilai minimum = –| –4 | + 1 = –4 + 1 = –3

2. Fungsi Trigonometri Y = A sin x + B cos x + C

Bentuk fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam kombinasi fungsi y = A sin x + B cos x + C. Cara menentukan nilai minimum dan maksimum pada bentuk fungsi trigonometri tersebut dilakukan dengan cara lain. Nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan bentuk tersebut perlu untuk merubahnya ke dalam persmaan bentuk lain. Rumus atau persamaan umum yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Penggunaan persamaan di atas untuk menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dapat dilihat seperti berikut.

Soal 1: Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1!

Mencari nilai k:
k = √(3² + 4²)
= √25
= 5

Sehingga, f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1 = 5 cos (x – α) + 1 dengan nilai minimum cos (x – α) = –1 dan nilai maksimum cos (x – α) = 1

• Nilai minimal f(x) = 5 cos (x – α) + 1 = 5(–1) + 1 = –5 + 1 = –4
• Nilai maksimal f(x) = 5 cos (x – α) + 1 = 5 + 1 = 6

Soal 2: Tentukan nilai minimum dan maksimum dari f(x) = 2 cos x + √5 sin x – 1!

Mencari nilai k:
k = √(2² + √5²)
= √(4 + 5)
= √9 = 3

Sehingga, f(x) = 2 cos x + √5 sin x – 1 dapat dinyatakan dalam persamaan f(x) = 3 cos (x – α) – 1. Seperti yang sobat idschool ketahui bahwa nilai minimum cos (x – α) = – 1 dan nilai maksimum cos (x – α) = 1.

f(x) = 2 cos x + √5 sin x – 1 = 3 cos (x – α) – 1

• Nilai minimal f(x) = 3 cos (x – α) – 1 = 3(–1) + 1 = –3 + 1 = –2
• Nilai maksimal f(x) = 3 cos (x – α) – 1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4

Baca Juga: Menyelesaikan Persamaan Fungsi Trigonometri

3. Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonometri dengan Turunan

Cara berikutnya adalah menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dengan turunan. Diketahui bahwa titik statsioner suatu fungsi terjadi saat turunan pertama fungsi sama dengan nol. Aturan ini juga berlaku untuk fungsi trigonometeri.

Turunan pertama dari fungsi trigonometri sama dengan nol akan menghasilkan letak absis untuk titik puncak kurva. Titik puncak tersebut dapat berupa nilai minimum atau nilai maksimum. Substitusi nilai absis yang diketahui pada persamaan akan menghasilkan nilai minimum atau nilai maksimum fungsi tersebut.

Sebagai contoh akan ditentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1.

f’(x) = 0
–3 sin x + 4 cos x = 0
–3 sin x = –4 cos x
^{sin x}/_{cos x} = ^–4/_–3 = ⁴/₃
tan x = ⁴/₃

Proses perhitungan di atas menunjukan hasil bahwa nilai tan x = ³/₄, sehingga dapat diperoleh dua kondisi. Dua kondisi tersebut berlaku untuk nilai minimum dan nilai maksimum.

Sehingga, nilai minimum dan maksimum untuk fungsi f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1 adalah sebagai berikut.

• Nilai minimum f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1
  = 3(–³/₅) + 4(–⁴/₅) + 1
  = –⁹/₅ – ¹⁶/₅ + 1 = –4

• Nilai maksimum f(x) = 3 cos x + 4 sin x + 1
  = 3(³/₅) + 4(⁴/₅) + 1
  = ⁹/₅ + ¹⁶/₅ + 1 = 6

Diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya, bukan?

Cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri dapat dilakukan untuk semua bentuk fungsi trigonometri. Namun, cara ini membutuhkan waktu sedikit lebih lama dilakukan dari dua cara sebelumnya. Sehingga, cara ini baik digunakan untuk fungsi trigonometri yang kompleks atau sangat rumit .

Baca Juga: Cara Menggambar Grafik Fungsi Trigonmetri y = cos x, y = 2 cos x, y = cos 2x

Contoh Soal dan Pembahasan Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonometri

Beberapa contoh soal di bawah dapat sobat idschool gunakan untuk menambah pemahaman sobat idschool. Setiap contoh soal yang diberikan dilengkapi dengan pembahasannya. Sobat idschool dapat menggunakan pembahasan tersebut sebagai tolak ukur keberhasilan mengerjakan soal. Selamat berlatih!

Contoh 1 – Soal Nilai Minimum Fungsi Trigonometri

Nilai terkecil yang dapat dicapai oleh y = 3 – 2 sinx cos x adalah ….
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
E. –2

Pembahasan:

Mencari bentuk lain dari persamaan fungsi trigonometri y = 3 – 2 sinx cos x:

y = 3 – 2 sinx cos x
y = 3 – sin 2x

Grafik sin x memiliki nilai tertinggi atau maksimum 1, sehingga nilai maksimum yang dapat dicapai sin 2x adalah 1. Jadi, nilai nilai terkecil yang dapat dicapai oleh y adalah,

y = 3 – 2 sin x cos x
y = 3 – sin 2x
= 3 – 1
= 2.

Jawaban: E

Contoh 2 – Soal Nilai Maksimum Fungsi Trigonometri

Diketahui x = cos A – 2 sin B dan y = sin A + 2 cos B. Nilai minimum dari x² + y² = ….
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5

Pembahasan:

Berdasarkan soal diperoleh:

• x = cos A – 2 sin B → x² = cos²A – 4 cos A sin A + 4 sin²B
• y = sin A + 2 cos B → y² = sin²A + 4 sin A cos B + 4 cos²B

Menentukan persamaan x² + y²:

Nilai minimim untuk sin (A – B) adalah –1, sehingga nilai minimum untuk x² + y² adalah,

x² + y² = 5 + 4 sin (A – B)
= 5 + 4(–1)
= 1

Jawaban: A

Contoh 3 – Soal Nilai Minimum dan Maksimum Fungsi Trigonometri

Pembahasan:

Diketahui:

• x = sin α + √3 sin β
  x² = sin²α + 2√3 sin β sin α + 3 sin²β
• y = cos α + √3 cos β (cos α + √3 cos β)
  y² = cos²α + 2√3 cos α cos β + 3 cos²β

Persamaan untuk x² + y²:

x² + y² = sin²α + 2√3 sin β sin α + 3 sin²β + cos²α + 2√3 cos α cos β + 3 cos²β
x² + y² = sin²α + cos²α + 2√3 sin β sin α + 2√3 cos α cos β + 3 sin²β + 3 cos²β
= 1 + 2√3 (cos α cos β + sin α sin β) + 3 · 1
= 4 + 2√3 cos (α – β)

Diperoleh persamaan x² + y² = 4 + 2√3 sin (α + β) yang nilainya akan maksimum saat nilai sin (α + β) maksimum. Nilai sin (α + β) maksimum sama dengan 1, sehingga nilai x² + y² akan maksimum saat memenuhi persamaan berikut.

x² + y² = 4 + 2√3 sin (α + β)
x² + y² = 4 + 2√3 · 1 = 4 + 2√3

Jadi, nilai a = 4, b = 2, dan a + b = 4 + 2 = 6

Jawaban: C

Demikianlah tadi ulasan cara menghitung nilai minimum dan maksimum fungsi trigonometri. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat!

Baca Juga: Limit pada Fungsi Trigonometri

Sumber gini.com